Muri di sostegno: come svolgere l’analisi strutturale

Il software GeoStru Muri di sostegno – MDC  consente di generare le relazioni, geotecnica e strutturale, anche separatamente.
In questo articolo si riportano i contenuti teorici e normativi utilizzati dal programma per eseguire le verifiche delle sezioni in ca del muro di sostegno.

SCHEMA STATICO E CALCOLO DELLE SOLLECITAZIONI DI PROGETTO

Nella progettazione di muri di sostegno, lo schema statico utilizzato per il calcolo delle caratteristiche di sollecitazioni è quello della trave incastrata (vedi figura 1), la mensola di elevazione può essere caricata da carichi distribuiti (spinta attiva del terreno, contributo del sovraccarico, incremento di spinta per la presenza di falda, incremento di spinta per effetto del sisma…) ma anche da carichi concentrati (forze inerziali, azioni aggiuntive sulla sezione del muro, tiranti..). Il momento flettente delle azioni viene riferito al baricentro della generica sezione di verifica.

Figura 1 – Schema Statico opera di sostegno

Analogamente, per la fondazione di valle e di monte, si assume lo stesso schema statico della mensola di elevazione: si tratta di travi ad asse rettilineo che possono essere caricate da carichi distribuiti verticali, da forze o coppie concentrate.
Per il calcolo delle caratteristiche di sollecitazione il programma sfrutta il metodo analitico facendo riferimento alle caratteristiche positive della convenzione sui segni adottata.

VERIFICHE STRUTTURALI

Secondo il metodo semiprobabilistico agli stati limite ultimi, la verifica di sicurezza di un elemento strutturale corrisponde al verificarsi, sezione per sezione, della seguente relazione simbolica:

Ed ≤ Rd

in cui:

E_d rappresenta una sollecitazione di progetto (ad esempio uno sforzo flettente, torcente, oppure una sollecitazione composta etc.), prodotta dalle azioni agenti F_dj sul muro di sostegno, valutate in base ai propri valori caratteristici e maggiorate in base a opportuni coefficienti di combinazione: F_dj = F_kj γ_Fj
Per sollecitazioni composte (ad esempio presso-flessione) la verifica presuppone l’istituzione di un metodo di misura della sicurezza e la relazione precedente risulta essere, in questo caso, solo simbolica.
Si supponga, ad esempio, che in una data sezione agiscano contemporaneamente le sollecitazioni di progetto N_Ed ed M_Ed (sforzo normale e momento flettente); ad esse corrispondono infinite coppie di valori resistenti N_R, M_R che nel loro insieme costituiscono la linea di frontiera di un dominio resistente. La misura della sicurezza, in questo caso, consiste nel controllare che il punto rappresentativo delle sollecitazioni di progetto allo stato limite ultimo ricada internamente o al più sulla linea di frontiera di tale dominio, detto di sicurezza
R_d è il valore di calcolo della corrispondente sollecitazione resistente sviluppata dai materiali costituenti la sezione, le cui resistenze di calcolo sono ottenute a partire da quelle caratteristiche mediante l’applicazione di coefficienti riduttivi (detti parziali per le resistenze) allo scopo di assicurare il prefissato grado di sicurezza: R_di = R_ki / γMi

RESISTENZA DI CALCOLO DEI MATERIALI

La resistenza di calcolo f_cd a compressione del calcestruzzo da considerare nel calcolo agli stati limite ultimi per il conglomerato è la seguente:

dove:

α_cc = coefficiente riduttivo per resistenze di lunga durata;
f_ck = resistenza cilindrica caratteristica del conglomerato;
γ_c = coefficiente di sicurezza parziale del calcestruzzo.

La resistenza di calcolo dell’acciaio a snervamento f_yd è la seguente:

dove:

f_yk                  resistenza caratteristica (o nominale) dell’acciaio allo snervamento;
γs                     coefficiente di sicurezza parziale dell’acciaio.

DIAGRAMMA DI CALCOLO TENSIONE-DEFORMAZIONE DEL CALCESTRUZZO

Nella progettazione di muri di sostegno in MDC, dei vari diagrammi si è utilizzato quello a parabola-rettangolo di figura ad oggi ritenuto il più attendibile nel calcolo di resistenza (specie in presenza di sforzo normale).
L’arco di parabola presenta il suo asse parallelo all’asse delle tensioni e un segmento di retta parallelo all’asse delle deformazioni e tangente alla parabola nel punto di sommità. Il vertice della parabola ha ascissa ε_c2 e la deformazione massima del segmento corrisponde a quella di εcu fissata dalle norme; l’ordinata massima del diagramma è pari a f_cd.

L’arco di parabola sopra definito è analiticamente rappresentato dalla seguente equazione:

σ=f_cd · [1-(1-ε_c/ε_c0)ⁿ]

Figura 2 – Diagramma tensione-deformazione calcestruzzo

Il valore di εc0 è pari a 0,002 per classi di resistenza pari od inferiore a C50/60 con ε_cu = 0,0035. Per classi di resistenza superiori è (f_ck in Mpa):

Il valore dell’esponente n è 2 per per classi di resistenza pari od inferiore a C50/60, per classi superiori vale (prospetto 3.1 EC2-1):

n = 1,4 + 23,4 [(90 – f_ck )/100]⁴

DIAGRAMMA DI CALCOLO TENSIONE-DEFORMAZIONE DELL’ACCIAIO

I diagrammi tensione-deformazione dell’acciaio utilizzati sono: (a) bilineare finito con incrudimento; (b) elastico-perfettamente plastico indefinito.
Come deformazione ultima di progetto va assunto il valore di ε_ud = 0,9 ε_uk, essendo ε_uk la deformazione uniforme ultima che deve essere ≥ 0,075 per l’acciaio B450C e k=f_tk/f_yk (rapporto di sovraresistenza) compreso tra 1,15 e 1,35.

Figura 3 – Diagramma tensione-deformazione acciaio

Volendo fissare, in assenza di specifici dati sperimentali, un diagramma di progetto che tenga conto del valore minimo d’incrudimento k=1,15 si può porre:

f_yd = f_yk/γ_s = 4500/1,15 = 3913 daN/cm²

ε_ud = 0,9 × 0,075 = 0,0675

f_td= k’× fyd ≈  k× fyd = 1,15 × 3913 = 4500

VERIFICA DI PRESSOFLESSIONE

Assegnata una generica coppia di sollecitazioni di progetto N_S-M_xS  rappresentata  in figura dal punto S, la sezione si considera verificata se S risulta interno al dominio di resistenza o, al massimo, appartenente alla curva di frontiera  del dominio medesimo. Per esprimere, invece, il controllo per via numerica si sceglie una retta passante per il punto S e si determina l’intersezione R con la frontiera del dominio. La sezione si considera verificata se il rapporto tra le lunghezze dei segmenti è ≥ 1,  essendo O un punto qualsiasi della retta purché interno al dominio.

Figura 4 – Dominio di resistenza

La retta utilizzata per il confronto è quella passante per l’origine O degli assi N-M_x denominata r in figura, è importante notare che i momenti M_x sono riferiti al baricentro della sezione di verifica.

VERIFICA A TAGLIO

Il calcolo di verifica a taglio è basato sul rispetto della (4.1.22) DM 2018 :

V_Ed ≤ V_Rd

con V_Rd  si indica il taglio resistente. La verifica viene effettuata considerando dapprima la sezione senza armatura a taglio, in tal caso il taglio resistente verrà valutato dalla seguente relazione (4.1.2.3.5.1 NTC 2018):

(4.1.23)

In sostanza la resistenza a taglio dipende fortemente dall’altezza utile d della sezione, ma anche dalla classe del calcestruzzo f_ck e dall’aliquota di armatura tesa longitudinale a flessione ρ_l = A_sl /b_w ∙ d).  Nel nostro caso è marginale o nullo l’incremento della resistenza da sforzo normale costituita dal termine 0,15 σ_cp .

Il programma MDC opera un primo dimensionamento delle armature a flessione ottenendo così un valore iniziale dell’aliquota ρl.  Se applicando la suddetta (4.1.23) la corrispondente resistenza a taglio V_Rd non soddisfa la (4.1.26) vengono aggiunte ulteriori barre longitudinali a flessione incrementando così ρl fino ad un massimo dell’1% (ρ_l = 0,01).  Se anche con la percentuale di armatura tesa dell’1% la sezione non è verificata a taglio è necessario procedere all’incremento dell’altezza utile d della sezione e/o all’impiego di un calcestruzzo con una maggiore resistenza caratteristica f_ck.

In genere l’aumento del numero di barre longitudinali tese avviene solo in ristrette zone poste in prossimità del nodo di convergenza della mensola con la fondazione.  Se in tali zone, sia pure con verifica a taglio positiva, il progettista dovesse valutare un eccessivo scostamento tra il momento di progetto e quello resistente (segno di un notevole incremento delle barre longitudinali tese), potrà ritenere opportuno incrementare, a suo giudizio, la dimensione trasversale d dell’elemento interessato (e/o utilizzare un calcestruzzo di classe superiore) onde ridurre o annullare il suddetto incremento.

MINIMI DI ARMATURA

La percentuale geometrica ρ di armatura longitudinale di calcolo, con ρ rapporto tra l’area dell’armatura longitudinale e l’area della sezione del pilastro, deve essere compresa entro i seguenti limiti:

 1%≤ ρ ≤ 4% (7.4.28)

Le verifiche delle combinazioni sismiche per le strutture di fondazione (pali compresi) verranno eseguite in modalità e sostanzialmente elastica cioè la resistenza a flessione (semplice o composta) verrà limitata al raggiungimento del momento di prima plasticizzazione, cioè al momento più piccolo tra quello che comporta il raggiungimento della tensione di snervamento nell’acciaio e quello che comporta il raggiungimento della deformazione unitaria di compressione pari a 0.002 nel calcestruzzo (il programma per il calcestruzzo utilizza comunque il legame costitutivo parabolico). Ciò comporterà una riduzione della resistenza a flessione (rispetto a quella calcolata allo stato limite ultimo) di di circa il 10% nelle strutture con piccolo o nullo sforzo assiale e fino al 30% per i pali di fondazione. Per le travi di fondazione l’armatura minima superiore ed inferiore deve essere almeno pari allo 0,2% dell’area della sezione trasversale.