Duttilità: il calcolo nelle NTC 2018

Nelle NTC 2018 le verifiche di duttilità per le nuove costruzioni in c.a. riguardano unicamente le costruzioni a comportamento strutturale dissipativo (§ 7.2.5 NTC) ed in particolare i tratti dissipativi dei vari elementi resistenti primari e secondari.

Nelle travi la verifica di duttilità nelle zone dissipative è implicitamente assicurata dal rispetto delle percentuali geometriche delle armature longitudinali e dalle prescrizioni sulle armature trasversali (§ 7.4.6.2.1).

In tutte le zone dissipative dei pilastri, al di sopra di quelle adiacenti allo spiccato delle fondazioni, è sufficiente rispettare i minimi delle armature trasversali a partire dal valore minimo del rapporto meccanico dell’armatura trasversale di confinamento ω_wd pari a 0,08 in CD”B” e 0,12 in CD”A”.  Nelle zone dissipative dei pilastri  allo spiccato delle fondazioni è richiesta una verifica di duttilità che può essere effettuata a mezzo della formula semplificata [7.4.29] o mediante calcolo esplicito della duttilità che, nella sua formulazione più generale, va effettuata mediante la costruzione per punti del diagramma momenti-curvature. Nel caso dei pilastri prefabbricati incastrati alla base con orizzontamenti collegati ad essi mediante cerniere fisse, il § 7.4.5.1 prescrive in ogni caso la verifica esplicita della duttilità.

Anche per le zone dissipative alla base delle pareti è prevista, in alternativa al calcolo esplicito, una verifica semplificata a  mezzo della disequazione  [7.4.32].

In generale la verifica di duttilità è soddisfatta se la domanda, espressa in termini di fattore di duttilità in curvatura, risulta non inferiore alla capacità anch’essa espressa negli stessi termini.

La capacità in termini di duttilità in curvatura è definita nel § 4.1.2.3.4.2 come rapporto tra la curvatura ultima e la curvatura convenzionale di prima plasticizzazione:

μ_Ф  =  Ф_u / Ф_yd

in cui:

Ф_yd  =  M_Rd / M’_Rd · Ф’_yd

• Ф’_yd la minore tra la curvatura calcolata in corrispondenza dello snervamento dell’armatura tesa e la curvatura calcolata in corrispondenza della deformazione di picco del calcestruzzo compresso ε_c2 (≈ 0.002);
• Ф_u  la curvatura corrispondente alla deformazione ultima del calcestruzzo e/o dell’acciaio oppure alla riduzione del 15% del momento massimo a flessione (vedi figura 1);
• M_rd il momento resistente della sezione allo SLU;
• M’_yd  è il momento corrispondente a  Ф’_yd  (momento resistente in campo sostanzialmente elastico).

Quindi secondo le NTC 2018 la determinazione della capacità in duttilità si basa sulla costruzione del diagramma momenti-curvature utilizzando i valori di “progetto” del calcestruzzo e dell’acciaio. Il grafico sopra riportato (tratto dalla Circolare NTC 2018) va costruito per punti sulla base delle leggi costitutive dei due materiali; l’andamento decrescente del diagramma può dipendere sia dalla rottura del copriferro non confinato sia dal degrado della resistenza del calcestruzzo confinato una volta superata la sua deformazione di picco. Tutte le classiche leggi costitutive del calcestruzzo (Mander, Kent-Park, Sargin, EC8-3 etc.) sono però basate sui corrispondenti valori caratteristici o medi  e non sui valori di progetto: appare pertanto inappropriato (trattandosi di un calcolo finalizzato alla stima di deformazioni di curvatura e non di un calcolo di resistenza) l’utilizzo delle suddette leggi costitutive basate sulla tensione di progetto (per il calcestruzzo pari ad appena il  56% circa della resistenza media). Di conseguenza i valori della capacità calcolati secondo NTC 2018 risulteranno molto più bassi (e in ogni caso alterati) rispetto a quelli  più realistici calcolati con le resistenze caratteristiche o medie.

I principali codici di calcolo internazionali, inoltre, definiscono la duttilità in curvatura semplicemente come:

μ_Ф  =  Ф_u / Ф’_yd

mentre le NTC 2018 introducono nuovo termine Ф_yd  come curvatura convenzionale di prima plasticizzazione da calcolare separatamente per le due principali direzioni di verifica.

Per le costruzioni nuove il suddetto calcolo  della capacità in termini del fattore di duttilità  sulla base della costruzione del diagramma momenti-curvature è strettamente necessario   nel solo caso delle sezioni di incastro alle fondazioni dei pilastri prefabbricati come sopra indicato.

Per poter effettuare la verifica (sia quella semplificata che quella esplicita) è preliminarmente necessario calcolare il fattore di duttilità che esprime  la domanda. Questo fattore (da valutare per ognuna delle due direzioni sismiche di verifica) è definito dalle NTC 2018 con riferimento allo stato limite di collasso:

μ_Ф  =  1.2 [ 2q₀ – 1]                     per  T₁ ≥  T_C

[7.4.3]

μ_Ф  =  1.2 [ 1 + 2 (q₀ – 1) T_C/T₁]   per  T₁ <  T_C

dove T₁ è il periodo fondamentale (traslante) della struttura nella direzione di verifica considerata e q₀ è il fattore di comportamento base sempre nella direzione considerata.

Per le zone dissipative dei comuni pilastri, ma solo per sezioni rettangolari o circolari, allo spiccato delle fondazioni è ammessa la verifica semplificata della duttilità in curvatura (senza calcolo esplicito della capacità ma rispettando i precisi particolari costruttivi delle staffe di cui al § 7.4.6.2.2) sulla base della seguente disequazione :

α·ω_wd ≥ 30 μ_Ф v_d ε_sy,d b_c/b_o – 0,035                      [7.4.29]

Consultazione rapida NTC 2018

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Esempio

La sezione in figura è quella di incastro allo spiccato di fondazione di un pilastro prefabbricato appartenente ad una struttura in classe di duttilità media CD’B’ con sforzo normale di progetto in combinazione sismica  N_d = 1000 kN. I materiali impiegati e le armature previste sono:

• Calcestruzzo Classe 25/30 con f_cd=14.17 N/mm²; f_ck= 25.0 N/mm²; f_cm= 33.0 N/mm²
• Acciaio B450C: f_yd=391.3 N/mm²; f_yk=450.0 N/mm²; f_ym=495.0 N/mm²; E_sm= 21000 Mpa
• 8 barre longitudinali Ф=20 mm
• staffe e le legature Ф=10 mm con passo s=12 cm con copriferro netto c = 2 cm.

Per detta sezione la verifica di duttilità va necessariamente effettuata con calcolo esplicito cioè a partire dal diagramma momenti-curvature.

Al solo scopo di confronto si svolge, in prima istanza, il calcolo del massimo valore del fattore di duttilità in curvatura (in capacità) utilizzando la già indicata formula semplificata  [7.4.29] riscritta in modo da esplicitare il valore μ_Ф  a partire dagli altri termini, tutti facilmente determinabili essendo già assegnata l’armatura trasversale:

μ_Ф   =   (α·ω_wd  +  0,035) / (30 v_d ε_sy,d b_c/b_o)

Si calcolano I singoli termini della [7.4.29] utilizzando la loro definizione di cui al § 7.4.6.2.2 NTC effettuando il calcolo in una sola direzione (essendo la sezione quadrata e  simmetricamente armata) (unità di misura in mm e N):

• b_c = 450 mm
• b₀ = 450 – 2 · 25 = 400 mm
• ω_wd = (6 · 78.54 · 400) / (120 · 400 · 400) · (391.3/14.17) =   0.271
• ν_d   = N_d /(b · h · f_cd) = 1000000 / (450 · 450 · 14.17) = 0.3485
• ε_sy,d =f_yd/E_s  = 391.3 / 210000 = 0.001863
• α_n  =  1 – (8 · 185²) / (6 ·400 · 400) = 0.707
• α_s  =  (1 – 120/(2 ·400)) · (1 – 120/(2 ·400)) = 0.7225
• α = α_n · α_s  = 0.5108

Sostituendo si ottiene il seguente valore di capacità in termini di fattore di duttilità in curvatura:

μ_Ф   =   7,91

Verifica duttilità esplicita col diagramma momenti-curvature

Questa modalità di calcolo del fattore di duttilità in curvatura costituisce il metodo più generale di calcolo e può essere utilizzato sia per sezioni non rettangolari, sia per le sezioni da calcolare con procedura non lineare (pushover).

Nell’ambito del calcolo sismico lineare (basato sugli spettri di risposta), per il calcestruzzo del nucleo confinato (all’interno della linea media delle staffe perimetrali di confinamento) si utilizza la legge costitutiva confinata sopra rappresentata (così come indicata nella Fig. 4.1.2 delle NTC 2018) utilizzando, cioè, i valori di progetto f_cd,c del calcestruzzo confinato. Per l’acciaio si utilizza la consueta bilatera elastica-perfettamente plastica utilizzando anche per l’acciaio  il valore di progetto dello snervamento (è anche possibile assegnare il tratto plastico con incrudimento).

Per il calcestruzzo esterno al nucleo confinato (copriferro) viene assunto il consueto diagramma parabola-rettangolo utilizzato per il calcolo di resistenza.

I risultati del calcolo automatico effettuato con il programma RC-SEC sono riassunti nel seguente grafico:

Quindi il fattore di duttilità di curvatura convenzionale richiesto dalle NTC risulta pari a 6,38 inferiore di circa il 20% di quello calcolato con la formula approssimata [7.4.29]. Ciò a dimostrazione che l’utilizzo dei valori di progetto conduce ad una stima del fattore di duttilità eccessivamente conservativo (oltre ad essere concettualmente discutibile come precedentemente sottolineato). Si noti il brusco calo del diagramma momenti-curvature dopo il raggiungimento del momento resistente massimo Mmax a causa della rottura del copriferro al raggiungimento della deformazione unitaria di rottura non confinata ε_cu = 0.0035. Si noti che un copriferro di grosso spessore può causare una brusca caduta del momento massimo superiore al 15% del suo valore (rendendo la sezione fragile anche se dotata di una buona armatura di confinamento) in quanto la curvatura ultima (se calcestruzzo confinato ed acciaio non hanno ancora raggiunto la deformazione ultima) va presa in corrispondenza del valore del momento pari a 0,85 Mmax (§ 7.4.4.1.2 NTC).

Con riferimento alla stessa sezione ed utilizzando un’altra opzione del programma RC-SEC è possibile calcolare il diagramma momenti-curvature sulla base dei valori medi dei materiali. Nell’esempio in studio si ottengono i seguenti risultati:

L’uso di valori realistici della resistenza conduce, quindi, ad una stima del fattore di duttilità in curvatura (lato capacità)  μ_Ф   =   14,27  superiore di oltre il doppio del valore prima ottenuto (6,38) con le resistenze di progetto. Questo sarebbe ad avviso dello scrivente (ma non consentito dalle NTC) il valore da confrontare con la domanda espressa dalle [7.4.3] NTC. Il diagramma momenti-curvature basato sui valori medi delle resistenze (anche con riferimento al legame costitutivo di Mander previsto in RC-SEC) potrebbe, invece, essere utilizzato per la modellazione di base del comportamento elasto-platico delle sezioni in un calcolo pushover a cerniere plastiche concentrate.

Il programma RC-SEC, con riferimento a tutte le sezioni dei pilastri, può calcolare il diagramma momenti-curvature anche in presso-flessione deviata. Allo stato attuale le NTC e l’EC8 non prescrivono tale modalità di calcolo limitandosi a chiedere verifiche di duttilità in presso-flessione retta separatamente per le due direzioni sismiche. Nel caso dell’esempio in studio se si assegna come direzione di verifica quella a 45° (ponendo nei dati di sforzo N=1000 kN;  Mx = My= cost.) si ottiene il seguente diagramma sulla base dei valori di progetto dei materiali:

In questo caso si può notare la notevole caduta del fattore di duttilità in curvatura sceso a 5,12.

Ma di questa problematica le norme non fanno alcun cenno.

Calcolo di sezioni in Cemento Armato – RC-SEC è il software per il calcolo della resistenza di sezioni in cemento armato con le NTC 2018 & Circ. ’19. Il calcolo di resistenza può essere svolto sia nella consueta modalità allo stato limite ultimo (SLU), con riferimento alle combinazioni non sismiche e sismiche dissipative, sia allo stato limite di prima plasticizzazione, con riferimento alle combinazioni sismiche delle strutture di fondazione e alle aste in elevazione nel caso di calcolo sismico non dissipativo.