Calcolo della tenso-presso flessione retta e deviata nelle sezioni in ca

Sollecitazioni di progetto Ed

Stabilite le varie azioni e combinazioni di carico, va effettuato il calcolo della struttura (qui pensata costituita da membrature lineari in c.a. ordinario) onde pervenire alla determinazione delle corrispondenti sollecitazioni di progetto E_d. Le NTC 2018 consentono, per la valutazione delle sollecitazioni E_d, differenti metodi di analisi:

• analisi elastica lineare;
• analisi plastica;
• analisi non lineare.

Qualunque sia il tipo di analisi effettuata vanno inseriti, se rilevanti, gli effetti del secondo ordine (trascurabili solo se inferiori al 10% dei corrispondenti effetti del primo ordine. Vedi § 4.1.1.4 NTC 2018)

Sollecitazioni resistenti R_d

Le sollecitazioni resistenti vengono determinate a partire dalle resistenze di calcolo dei materiali e dalle leggi costitutive di comportamento dei materiali (diagrammi sforzi-deformazioni).
Per sollecitazioni semplici (sforzo normale, flessione, torsione) la verifica della sezione, a mezzo della relazione di sicurezza E_d ≤ R_d, è immediata.
Per sollecitazioni composte (ad esempio presso-flessione) la verifica presuppone l’istituzione di un metodo di misura della sicurezza e la relazione precedente risulta essere, in questo caso, solo simbolica. Si supponga, ad esempio, che in una data sezione agiscano contemporaneamente le sollecitazioni di progetto N_Ed ed M_Ed (sforzo normale e momento flettente); ad esse corrispondono infinite coppie di valori resi-stenti N_R, M_R che nel loro insieme costituiscono la linea di frontiera di un dominio resistente. La misura della sicurezza, in questo caso, consiste nel controllare che il punto rappresentativo delle sollecitazioni di progetto allo stato limite ultimo ricada internamente o al più sulla linea di frontiera di tale dominio, detto di sicurezza.
La difficoltà del calcolo diretto delle sollecitazioni resistenti di frontiera, causato essenzialmente dalla non linearità del legame costitutivo dei materiali, ha indotto a proporre formulazioni semplificate come ad esempio quella relativa alla presso flessione deviata esposta nella formula (4.1.19) delle NTC. L’odierno generalizzato uso del personal computer nella pratica professionale consente l’uso di metodi iterativi (non lineari) diretti ed affidabili per la valutazione della sicurezza allo stato limite ultimo, come quelli utilizzati dal programma RC-SEC che rendono superfluo l’utilizzo di formule e/o abachi semplificati.
L’esposizione di tali metodi costituisce il principale contenuto del presente capitolo in cui viene proposta una soluzione generale del problema della verifica a presso-tenso flessione deviata di una sezione di forma generica. La complessità connessa alla risoluzione di tale tipo di calcolo, non ha ancora consentito l’affermazione, in letteratura, di un algoritmo risolutivo univoco, specie in riferimento ai calcoli di progetto delle armature. Il programma di progetto e verifica agli stati limite ultimi cui si riferiscono le presenti note ed illustrato in un esempio finale consente, inoltre, la massima generalità applicativa (per geometria, materiali e sollecitazioni).

Resistenze di calcolo dei materiali

La resistenza di calcolo fcd a compressione del calcestruzzo da considerare nel calcolo agli stati limite ultimi per il conglomerato è la seguente:

f_cd=(α_cc·f_ck)/γ_c

dove:
α_cc= 0,85 = coeff. riduttivo per resistenze di lunga durata;
f_ck = resistenza cilindrica caratteristica del conglomerato (= 0,83 R_ck);
γ_c = 1,5 coefficiente di sicurezza parziale del calcestruzzo.

Nel caso di elementi piani (solette, pareti, …) con spessori del conglomerato minori di 5 cm. la resistenza di calcolo va ridotta a 0,80 f_cd.
La resistenza di calcolo dell’acciaio a snervamento f_yd è la seguente:

f_yd=f_yk/γ_sù

dove:
f_yk = resistenza caratteristica (o nominale) dell’acciaio allo snervamento;
γ_s = 1,15 coefficiente di sicurezza parziale dell’acciaio.

Diagramma tensioni-deformazioni di calcolo del calcestruzzo

Dei vari diagrammi che le nuove norme propongono nel § 4.1.2.1.2.1 si è utilizzato quello a parabola-rettangolo di Fig. 1 ad oggi ritenuto il più attendibile nel calcolo di resistenza (specie in presenza di sforzo normale).
L’arco di parabola presenta il suo asse parallelo all’asse delle tensioni e un segmento di retta parallelo all’asse delle deformazioni e tangente alla parabola nel punto di sommità. Il vertice della parabola ha ascissa ε_c0 e la deformazione massima del segmento corrisponde a quella di ε_cu fissata dalle norme; l’ordinata massima del diagramma è pari a f_cd, vedi Fig. 1
L’arco di parabola sopra definito è analiticamente rappresentato dalla seguente equazione:

σ=f_cd ·[1-(1-ε_c/ε_c0)ⁿ]

Fig. 1- Diagramma di calcolo cls

Il valore di ε_c0 è pari a 0,002 per classi di resistenza pari od inferiore a C50/60 con ε_cu = 0,0035. Per classi di resistenza superiori è (fck in Mpa, Fig. 2):

ε_c2 = 0,002 + 0,000085 (f_ck – 50)^0,53                             (1)
ε_cu = 0,0026 + 0,0035 [(90 – f_ck)/100]⁴

Fig. 2- Diagramma di calcolo cls per le classi C20/25, C25/30, C28/35, C40/50

Il valore dell’esponente n è 2 per per classi di resistenza pari od inferiore a C50/60, per classi superiori vale (prospetto 3.1 EC2-1, Fig. 3):
n = 1,4 + 23,4 [(90 – f_ck )/100]⁴

Fig. 3- Diagramma di calcolo cls per la classe C80/95

Diagramma di calcolo dell’acciaio

Le NTC nel § 11.3.2 prescrivono in pratica un unico tipo di acciaio B450C in barre con tensione caratteristica di rottura f_tk ≥ 540 N/mm² ed una tensione caratteristica di snervamento f_yk ≥450 N/mm² con k=f_tk/f_yk (rapporto di sovraresistenza) compreso tra 1,15 e 1,35 e f_yk/450 ≤ 1,25. Per tale acciaio può assumersi il diagramma bilineare di Fig. 4 avente il primo tratto a pendenza corrispondente al modulo di elasticità E_s (valore consigliato in EC2 pari a 200000 Mpa) ed il secondo tratto inclinato con pendenza k = (f_t/f_y)_k pari cioè al rapporto di sovraresistenza.

Fig. 4- Diagramma di calcolo acciaio

Come deformazione ultima di progetto va assunto il valore di ε_uk = 0,9 εud essendo ε_ud la deformazione uniforme ultima che deve essere ≥ 0,075 per l’acciaio B450C.
Volendo fissare, in assenza di specifici dati sperimentali, un diagramma di progetto che tenga conto del valore minimo di incrudimento k=1,15 si può porre:

f_yd = f_yk/γ_s = 4500/1,15 = 3913 daN/cm²
ε_ud = 0,9 × 0,075 = 0,0675
f_td= k’× fy_d ≈ k× f_yd = 1,15 × 3913 = 4500 daN/cm²

dove k’ è in realtà leggermente superiore a k (a favore di sicurezza).

Fig. 5- Diagramma di calcolo e caratteristico dell’acciaio

Nell’archivio materiali del programma RC-SEC è prevista un’apposita colonna per il valore di f_td necessario a definire il diagramma resistente del singolo acciaio onde poter valutare successivamente le sollecitazioni resistenti in presenza di incrudimento. In questo modo può ottenersi una riduzione dell’armatura longitudinale specie nel caso di flessione nelle travi.
Le NTC consentono, in alternativa, l’utilizzo del tradizionale diagramma elastico perfettamente plastico (k’=k=1) ma con deformazione ultima indefinita. Nel programma è comunque necessario fornire una de-formazione ultima finita; fornendo ad esempio gli stessi valori di deformazione ultima prima indicati e f_td=f_yd si può constatare come la rottura della sezione avvenga con deformazione ultima dell’acciaio quasi sempre inferiore a ε_ud (la rottura del calcestruzzo precede quella dell’acciaio).

Campi di rottura

Si consideri la generica sezione soggetta, per semplicità di esposizione, ad una sollecitazione retta. Per l’ipotesi di conservazione delle sezioni piane assunta e per le già descritte limitazioni imposte alle deformazioni unitarie di conglomerato ed acciaio, le configurazioni deformate della sezione corrispondenti alle varie possibilità di rottura, passano tutte almeno per uno dei punti denominati A,B,C di Fig. 6. Nella medesima figura sono pure rappresentate le posizioni 1-2-3-4 (denominate assetti principali per curvature positive) della deformata unitaria corrispondenti a configurazioni di passaggio da un tipo di rottura (campo di rottura) all’altro.

Fig. 6- Rappresentazione grafica dei campi di rottura

Il primo campo di rottura si ottiene, infatti, ruotando la deformata intorno al punto A (pivot A), a partire dall’assetto 1 verso l’assetto 2. Il secondo campo si ottiene a partire dall’assetto 2, ruotando la deformata intorno a B fino a portarsi sull’assetto 3. Il terzo campo, infine, parte dall’assetto 3 e va fino al 4, con una rotazione intorno al pivot C.
La definizione di tali ulteriori campi, delimitati da altrettanti assetti limite, risulta superflua nel procedi-mento numerico diretto impiegato per la misura della sicurezza, oggetto del paragrafo seguente.
Le NTC 2018 hanno introdotto, per le combinazioni sismiche, la possibilità del calcolo non dissipativo che comporta per le sezioni l’introduzione dello stato limite “sostanzialmente elastico” consentendo, allo stesso tempo, l’impiego di molti dei particolari costruttivi relativi alle combinazioni non sismiche (capitolo 4 NTC) . Per questo nuovo stato limite il programma RC-SEC utilizza il solo tratto parabolico del legame costitutivo del calcestruzzo; in questo caso il momento limite è il minore tra quello che comporta la deformazione massima del calcestruzzo pari a ε₀ = 0,002 e quello che che produce la deformazione mas-sima di trazione dell’acciaio pari a ε_y . Per questo stato limite i campi (ed anche gli assetti) si riducono a 3 (manca l’assetto 3), e la deformazione εcu viene sostituita da ε_c0 e la deformazione εud viene sostituita da ε_yd. Va segnalato che gli sforzi prodotti dalle combinazioni sismiche nelle sezioni delle fondazioni vanno di norma verificati in questa nuova modalità ‘sostanzialmente elastica’ anche nel caso in cui la struttura in elevazione sia calcolata come dissipativa.

Integrazione delle tensioni normali

Prima di operare l’integrazione viene effettuata una preventiva discretizzazione della sezione in n strisce parallele all’asse neutro aventi tutte il medesimo spessore Δy denominato in programma passo di discretizzazione, vedi Fig. 7. Detto passo (impostato inizialmente a 0,5 cm) può essere variato nelle opzioni di calcolo del programma in funzione delle dimensioni della sezione in esame (per sezioni di pile da ponte ad esempio si consiglia un passo da 1 a 2 cm).
La larghezza della singola striscia viene assunta pari a quella Δx_i del segmento ottenuto dall’intersezione della linea media passante per il punto di mezzo dello spessore Δy. L’area della generica striscia “i” sarà, quindi, fornita da:

Ac_i ≈ Δx_i·Δy

Fig. 7- Rappresentazione grafica del criterio utilizzato dal programma per integrare le tensioni

Con le notazioni di figura gli sforzi N, Mx, riferiti agli assi generici x-y e per una qualunque posizione della retta di deformazione della sezione, sono dati dalle seguenti equazioni di equilibrio alla traslazione ed alla rotazione:

Equ.(2)

Nelle sommatorie si è assunta la tensione σci del conglomerato costante su tutta l’area A_ci della generica striscia i, ed il suo valore computato (sul diagramma di calcolo σ-ε) in corrispondenza della deformazione unitaria letta all’altezza della fibra media della striscia medesima.
Il momento resistente ultimo baricentrico viene, infine, ottenuto mediante l’applicazione della:

Mx_B = Mx – N·y_B

Le semplici integrazioni numeriche sopra descritte conducono a risultati tanto più vicini a quelli esatti quanto più piccolo è il passo di discretizzazione Δy assunto preventivamente nei calcoli. Nelle numerose prove di calcolo eseguite per sezioni di svariata forma e grandezza, eccellenti approssimazioni nei risultati sono state ottenute assumendo Δy = 0,5 cm. Riducendo infatti ulteriormente tale passo i risultati in termini di sforzi resistenti variano di quantità sempre trascurabili.

Calcolo a presso-tenso flessione retta

In Fig. 8 è rappresentata una generica curva di interazione delle sollecitazioni resistenti ultime N, Mx riferite al baricentro della sezione di solo conglomerato.
Detta curva, che rappresenta la frontiera del dominio di sicurezza, potrebbe essere facilmente costruita per punti facendo assumere alla retta di deformazione unitaria, mostrata nel paragrafo relativo ai campi di rottura, una successione di posizioni caratterizzate tutte dal raggiungimento della deformazione ultima di almeno uno dei due materiali. In particolare i punti 1-2-3-4 di frontiera in figura corrispondono agli stessi assetti precedentemente descritti e riferiti a curvature positive; i punti 5-6 si riferiscono ai punti corrispondenti agli assetti 2-3 ma caratterizzati da curvature negative.

 

Fig. 8- Rappresentazione grafica di una curva d’interazione

Per ottenere tali punti caratteristici della frontiera (assetti principali) basta eseguire le integrazioni prima definite assumendo una espressione analitica della deformazione rettilinea del tipo:

ε(y) = b·y + c    (3)

in cui :

b = χ_x = curvatura intorno all’asse x
c = ε_O = deformazione in corrispondenza dell’origine O degli assi di riferimento

I coefficienti b, c della retta (3), vengono determinati a partire dalle deformazioni ε_P , ε_Q di due punti P,Q qualsiasi della sezione aventi ordinate corrispondenti y_P, y_Q :
b = (ε_P – ε_Q) / ( y_P – y_Q)
c = ε_Q – b ·y_Q
Una volta definita, a mezzo della (1), la deformazione unitaria della sezione in corrispondenza dei 6 assetti principali prima indicati, è facile calcolare un qualunque punto {N, Mx} di frontiera intermedio tra due generici assetti principali consecutivi i, j.
Con riferimento alla figura 8 si supponga di voler calcolare un punto della frontiera ricadente tra gli assetti principali 2 e 3, cui corrispondono le già note curvature b₂ e b₃ riferite al pivot B definito nel precedente paragrafo. Assegnata, pertanto, una qualsiasi curvatura b intermedia compresa tra b₂ e b₃, ed indicata con y_B, ε_B rispettivamente l’ordinata e la corrispondente deformazione unitaria del pivot B, si ottiene subito il coefficiente c della (1):

c = ε_B – b ·y_B [ b₂< b < b₃ ]

L’integrazione delle tensioni (tramite le (2)) fornisce, infine, la coppia dei valori di frontiera N, Mx cercati.
Suddiviso l’intervallo b₂ – b₃ in un numero qualsiasi n di curvature, si ottengono in corrispondenza n punti rappresentativi di altrettante coppie di sforzi {N, Mx} che infittiscono il campo di rottura in studio. Estendendo tale procedimento ai 6 campi di rottura complessivamente individuati in figura, si può ottenere facilmente per punti l’intero dominio resistente di progetto.
Il programma RC-SEC per ogni sezione predefinita calcolata è in grado di rappresentarne graficamente il relativo dominio di rottura N-Mx mediante una spezzata congiungente una serie di almeno 60 punti calcolati numericamente sulla base delle precedenti considerazioni. In realtà il calcolo delle singole sollecitazioni resistenti ultime viene effettuato dal programma con un metodo iterativo diretto che verrà descritto nel successivo paragrafo relativo alle sollecitazioni deviate (che includono come caso particolare quelle rette).

Misura della sicurezza

Assegnata una generica coppia di sollecitazioni di progetto N_S-Mx_S rappresentata in figura 8 dal punto S, la sezione si considera verificata se S risulta interno al dominio di resistenza o al più appartenente alla curva di frontiera del dominio medesimo. Il problema sarebbe esaurito se si volesse operare tale controllo per via grafica sulla scorta di un abaco di calcolo adimensionalizzato. Volendo, invece, esprimere il controllo per via numerica (come appare più naturale utilizzando l’elaboratore) occorre scegliere una retta passante per il punto S, determinarne l’intersezione R con la frontiera del dominio e considerare verificata la sezione se il rapporto tra le lunghezze dei segmenti OR ed OS risulti ≥ 1, essendo O un punto qualsiasi della retta purché interno al dominio.
Una delle rette spesso utilizzata per il confronto è quella passante per l’origine O degli assi N-Mx denominata r in figura (misura ad eccentricità costante). E’ importante, per poter effettuare tale confronto, esse-re preventivamente sicuri che l’origine O sia interna al dominio. Per sollecitazioni rette ciò in generale è vero, a condizione di riferire i momenti Mx (e quindi il dominio di resistenza) al baricentro della sezione di solo calcestruzzo. Per il medesimo motivo, nel caso generiche sollecitazioni deviate, il dominio verrà sempre riferito ai momenti valutati rispetto agli assi principali d’inerzia.
Sempre in Fig. 8 è illustrata un’altra e più frequente modalità di misura della resistenza che utilizza, questa volta, la retta r’ parallela all’asse Mx (misura a sforzo normale costante). Si osservi che il punto O’, assunto come origine dei segmenti di questa misura, è stato scelto in corrispondenza dei due segmenti congiungenti (tratteggiati in figura) l’origine O con gli assetti 1 e 4; ciò sempre allo scopo di assicurare la condizione di appartenenza al dominio del punto O’ stesso, in quanto necessaria per poter operare il controllo numerico (la misura della sicurezza è data, in questo caso, dal rapporto O’R/O’S ).
La retta r quindi corrisponde alla misura cosiddetta ad eccentricità costante (e = Mx/N = cost.). La retta r’ corrisponde invece alla misura a sforzo normale N costante.
Il programma RC-SEC consente, nella scheda dei dati generali, la possibilità di operare preventivamente la scelta opzionale tra le due descritte misure della sicurezza.
Le due denominazioni attribuite alla misura non vanno intese come una corrispondente modalità di accrescimento delle sollecitazioni esterne all’evolversi della storia dei carichi, in quanto il punto S esprime il va-lore finale della combinazione dei carichi in esame e non un valore di passaggio. La circostanza per cui gli sforzi S possano ricadere esternamente al dominio in una fase intermedia di accrescimento dei carichi per poi rientrarvi nell’assumere i valori finali, viene esclusa dall’obbligo previsto dalle norme, di dover considerare, nella verifica semiprobabilistica, tutte le combinazioni di carico (anche quelle intermedie).
La verifica della sezione sarà, in definitiva, ugualmente soddisfatta scegliendo, per la misura, sia la retta r che la r’. Il rapporto tra segmenti OR/OS (misura della sicurezza) non è quindi univoco e non esprime un vero coefficiente di sicurezza, fornendo solo un’indicazione sulle ulteriori eventuali risorse di resistenza (nel caso, ad esempio, risulti molto maggiore di 1 va considerata l’ipotesi di ridimensionare la sezione di calcestruzzo o le armature in eccesso).

Ulteriori verifiche normative

Anche in caso di verifica positiva conseguita sulla base dei procedimenti basati sui domini di resistenza esposti nei precedenti paragrafi, le NTC prescrivono vari controlli aggiuntivi.
Con riferimento alle combinazioni non sismiche e sismiche non dissipative: nel caso di pilastri soggetti a sforzo normale semplice, si deve comunque assumere una componente flettente dello sforzo M_Ed= e∙N_Ed con eccentricità e almeno pari a 0,05h≥20 mm (e meno di 1/200 dell’altezza di libera inflessione) dove h è la dimensione della sezione nella direzione dell’eccentricità (punto 4.1.2.3.4.2 NTC). Questo controllo sulla componente flettente (di dubbia applicabilità nei casi più complessi di sezioni di forma generica) viene so-stituito, nel programma RC-SEC, con quello alternativo suggerito dalle Istruzioni alle NTC2018 che assume come sforzo normale massimo resistente N_Rd il valore ultimo ridotto (per tener implicitamente conto dell’eccentricità accidentale di cui trattasi) pari a:

N_Rd = 0,8 f_cd A_c + A_s,tot

con A_c area del calcestruzzo e A_s,tot area totale d’armatura. Questo limite nello sforzo normale corrispondere a porre un limite al dominio di rottura di Fig. 9 rappresentato dalla retta s (corrispondente allo sforzo normale limite N_Rd) che porta all’esclusione della parte tratteggiata del dominio di resistenza.
Nelle combinazioni sismiche dissipative, allo scopo di incrementare la duttilità dei pilastri, viene posto un ulteriore limite allo sforzo normale rispetto a quello appena indicato. Per le strutture in classe di duttilità CD”B” ed in CD”A” tale valore limite N_Rd corrisponde rispettivamente al 65% e al 55% della resistenza massima a compressione della sezione di solo calcestruzzo (0,65÷0,55 Ac×f_cd dove A_c è l’area della sezione di calcestruzzo)(§ 7.4.4.2.2.1 NTC). Per le pareti tali percentuali scendono rispettivamente al 40% e 35%.
Anche in questo caso si ha una riduzione del dominio resistente del tipo di quella rappresentata in Fig. 9, in cui viene esclusa dal dominio resistente la parte tratteggiata a destra di N. Tale controllo viene effettuato dal programma in automatico.
Nelle sezioni appartenenti a travi inflesse va verificato che le armature longitudinali ricadenti in zona tesa misurino un’area A_s,min non inferiore a (§ 4.1.6.1.1 NTC):

A_s,min = 0,26 ∙ f_ctm/f_yk b_t ∙d e comunque non minore di 0,0013 b_t ∙d

dove b_t è la larghezza media della zona tesa; d è l’altezza utile della sezione; f_ctm è il valore medio della resistenza a trazione assiale (§ 11.2.10.2 NTC); f_yk è il valore caratteristico della resistenza a trazione a snervamento dell’armatura ordinaria.

Fig. 9- Rappresentazione grafica del dominio resistente in zona sismica

In combinazione non sismica o sismica non dissipativa l’area di armatura tesa o compressa non deve superare individualmente il 4% dell’area della sezione trasversale di calcestruzzo.
Nelle travi continue (sempre in combinazione non sismica) in cui il rapporto tra due luci adiacenti è inferiore a due, nelle travi appartenenti a telai a nodi fissi e negli elementi soggetti prevalentemente a flessione, le NTC consentono di operare una riduzione dei momenti δ×Me elastici (in genere quelli di continuità sugli appoggi) con conseguente ridistribuzione equilibrata dei momenti (di solito in campata).
Con riferimento all’acciaio B450C il coefficiente δ di riduzione dei momenti elastici deve rispettare le se-guenti condizioni (4.1.1.1 NTC):

δ ≥ 0,44 + 1,25×(0,6+0,0014/ε_cu) x/d     per f_ck ≤ 50 Mpa
δ ≥ 0,54 + 1,25× (0,6+0,0014/ε_cu) x/d    per f_ck > 50 Mpa
0,70 ≤ δ ≤ 1

dove x è l’altezza della zona compressa e d è l’altezza utile della sezione.
Le limitazioni imposte alle tensioni di esercizio riducono sensibilmente la possibilità di operare la ridistribuzione dei momenti mediante il coefficiente δ, specie per percentuali di armatura medio-alte che comportano valori di x/d non contenuti. E’ questo il caso ad esempio delle travi in spessore di solaio, il cui dimensionamento è fortemente condizionato dagli stati limite di esercizio.

Sempre con riferimento alle combinazioni non sismiche (e sismiche non dissipative) nelle sezioni appartenenti a pilastri (caratterizzate da N > 0) vanno rispettate armature minime longitudinali tali da non risultare inferiori a 0,10 N_Ed/f_yd, dove N_Ed è la forza assiale di compressione di calcolo e f_yd è la resistenza di calcolo a snervamento dell’acciaio. Le armature longitudinali complessive dovranno, inoltre, essere comprese fra lo 0,3 % e il 4% dell’area effettiva della sezione.
Nelle combinazioni sismiche di tipo dissipativo le NTC prescrivono (per assicurare una buona duttilità a tutte le sezioni) un limite minimo ed uno massimo per la percentuale geometrica ρ di armature tese (sia inferiori che superiori delle travi):

1,4/ f_yk < ρ < ρ_comp+ 3.5/ f_yk      (7.4.26) NTC

Dove ρ_comp è il rapporto geometrico relativo all’armatura compressa.
Nelle zone critiche deve inoltre essere ρcomp ≥ 0,5 ρ e nelle altre zone comunque ρ_comp ≥ 0,25 ρ.
Per i pilastri, sempre in combinazioni sismiche dissipative, la percentuale complessiva delle armature lon-gitudinali deve essere compresa tra l’1% ed il 4%.
Tutte le precedenti prescrizioni riguardanti le armature longitudinali vengono controllate automaticamen-te dal programma RC-SEC sulla base della indicazione della sismicità e della posizione della sezione rispetto ai nodi di estremità dell’asta (cioè a secondo se la sezione ricade in zona critica o meno).

Progetto condizionato delle armature

Se, come correntemente avviene, le sollecitazioni di progetto derivano da un calcolo lineare elastico della struttura, risultano attribuite le sole dimensioni del conglomerato (carpenteria prefissata), restando indeterminate le armature, per ubicazione ed area. Una delle procedure più utilizzata dai progettisti in questi casi consiste nel fissare, per ogni sezione predimensionata di calcolo, la posizione delle barre d’armatura ed i rapporti tra le aree d’acciaio compressa e tesa, e nel determinare l’area totale minima d’acciaio cui corrisponda un dominio resistente che verifichi le sollecitazioni di progetto.

Questo modo di procedere viene definito da vari autori come semiprogetto o progetto condizionato delle armature.

In altre parole, tenendo fissa la geometria del conglomerato e la posizione delle barre, si cerca la minima quantità di armatura a cui corrisponda un dominio di resistenza della sezione la cui frontiera passi per il punto S rappresentativo delle sollecitazioni.

Le aree delle progettate armature dovranno, nel contempo, rispettare anche le quantità minime e mas-sime di armatura e le altre prescrizioni previste dalla normativa di cui si è discusso.

Nel caso in cui l’area delle armature necessaria a fronteggiare le sollecitazioni di progetto superi quella massima ammessa dalla normativa, vanno attribuite maggiori dimensioni (o una diversa forma o migliori proprietà meccaniche dei materiali) alla sezione di conglomerato, vanno ricalcolate le sollecitazioni di progetto e riavviata la procedura di semiprogetto delle armature.

Il semiprogetto in flessione semplice retta con due strati di armatura (rispettivamente in zona tesa ed in zona compressa) ricorre spesso nella progettazione delle travi appartenenti agli impalcati orizzontali degli edifici. Le NTC prevedono – per il calcolo dissipativo – nelle zone di attacco ai pilastri che il rapporto tra l’area dell’armatura compressa e quella tesa sia non minore di 0,5 in modo da ottenere una buona duttilità.
Allo scopo di progettare l’armatura in modo da conseguire una soddisfacente duttilità della sezione si as-sume (anche se non più prescritto dalla normativa) un valore limite di riferimento del rapporto x/d di cui si è discusso sopra. Il programma adotta cioè, per tutte le sezioni predefinite, la seguente strategia di calcolo:
Step 1- Calcolo del momento limite Mlim oltre il quale nel progetto in semplice armatura il rapporto x/d supera il valore massimo di 0,45 (0,35 per f_ck > 50 N/mm²).
Step 2- Se il momento M di progetto è inferiore a M_lim il semiprogetto è svolto prevedendo il semplice strato di armatura tesa (armatura compressa nulla); in questo caso risulterà sempre x/d < 0,45.
Step 3- Nel caso in cui M > M_lim verrà garantito il rapporto x/d ≤ 0,45 (≤ 0,35 per f_ck > 50 N/mm²) introdu-cendo uno strato di armatura compressa ed un uguale incremento allo strato teso, tali da assorbire il mo-mento: ΔM = M_Sd – M_lim.

Calcolo per presso-tenso flessione deviata

Si consideri la generica sezione di figura 10 avente geometria e sforzi esterni riferiti al sistema X, Y generale di assi. Siano, inoltre ξ, η gli assi principali d’inerzia della sezione di solo conglomerato definiti dalle coordinate del baricentro B e dall’angolo θ formato dall’asse ξ con l’asse X.

Fig. 10- Integrazione delle tensioni, presso-tenso flessione deviata

A differenza del caso trattato nei precedenti paragrafi e relativo alle sole sollecitazioni rette, l’asse neutro di una qualsiasi deformazione ultima non è, in generale, parallelo all’asse X, formando con questo un angolo α. Al fine di utilizzare lo stesso tipo di integrazione numerica effettuata tramite le precedenti espressioni (2), si riferisce la sezione agli assi x*, y* ruotati di α ed aventi la stessa origine O. In questo sistema di riferimento l’asse neutro è sempre parallelo all’asse x* e ad esso sono ancora riferibili le sollecitazioni re-sistenti di cui alle (2), completate, in questo caso, dalla componente My*.

L’integrazione numerica può eseguirsi con le seguenti sommatorie:

Equ. (4)

in cui, con riferimento alla generica striscia discreta “i” di Fig.10 si è posto:

A_ci=(x²_ci-x¹_ci)·Δy

x_ci=(x²_ci-x¹_ci) / 2

Le sollecitazioni flettenti resistenti vanno comunque riferite agli assi principali d’inerzia ξ, μ della sezione di solo conglomerato:
in cui, con riferimento alla generica striscia discreta i di figura 10 si è posto:

Equ. (5)

in cui con x_R, y_R sono indicate le coordinate dell’origine O riferite agli assi principali d’inerzia.
Le sollecitazioni flettenti resistenti vanno comunque riferite agli assi principali d’inerzia ξ, μ della sezione di solo conglomerato:

Fig. 11- Rappresentazione grafica del dominio di resistenza

La generica sollecitazione esterna S, in definitiva, è caratterizzata in generale dalle tre componenti di progetto S {N_Sd, M_ηSd, M_ξSd}, che vanno confrontate, secondo una prefissata direzione r di misura, con le corrispondenti sollecitazioni resistenti R {N_Rd, M_ηRd, M_ξRd} ottenute dall’intersezione della retta r con il dominio resistente, che in questo caso è racchiuso da una superficie di frontiera tridimensionale come indicato in Fig. 11.
Ad ogni punto di questa superficie corrisponde una configurazione limite della sezione caratterizzata, cioè, dal raggiungimento della deformazione unitaria ultima da parte del conglomerato o dell’acciaio. In partico-lare i punti di cuspide 1 e 4, corrispondono alla massima deformazione della sezione a curvatura nulla rispettivamente per dilatazione e per accorciamento.
Si supponga adesso di bloccare la direzione dell’asse neutro (angolo α di Fig. 1) facendo assumere alla deformata della sezione (ε(y*) = b y*+ c ) gli stessi assetti limite descritti nel paragrafo relativo ai campi di rottura. L’applicazione delle (4) e poi delle (5) conduce alla determinazione di un insieme di punti {N, M_ξ ,M_η}, che costituiscono una determinata curva spaziale di interazione ψ, appartenente alla superficie di frontiera del generico dominio di resistenza, del tipo di quella ψ rappresentata in Fig. 11. Tale curva di interazione spaziale è l’equivalente della curva piana tracciata per sollecitazioni rette.
Facendo variare l’angolo α (cioè la direzione dell’asse neutro) da 0 a 2 π e ripetendo le integrazioni si otterrebbe un fascio di curve di interazione ψ che nel loro insieme verrebbero a costituire l’intera superficie tridimensionale di interazione. Poiché tutte le curve ψ ammettono gli stessi assetti principali 1 e 4, esse iniziano e terminano tutte in tali punti di cuspide del dominio.
Si deve a questo punto osservare che per effettuare la verifica di una sezione in presso-tenso flessione deviata sarebbe eccessivamente oneroso, in termini di tempi di elaborazione, costruire per punti l’intero dominio resistente. Nel prossimo paragrafo viene, pertanto, sviluppata una strategia iterativa legata al metodo di misura della resistenza adottato, onde abbreviare drasticamente i tempi di verifica.

Misura della sicurezza ad eccentricità costante

Questa misura viene operata in perfetta analogia al criterio di misura della sicurezza ad eccentricità costante sviluppato relativamente alle sollecitazioni rette. Definito il punto S come rappresentativo degli sforzi esterni {N_Sd, M_ξSd, M_ηSd}, la misura della sicurezza è fornita (vedi Fig. 11) dal rapporto tra i moduli dei segmenti ed misurati sulla retta r appartenente al piano Π passante per l’asse degli sforzi normali N e caratterizzato dal formare con l’asse M_ξ l’angolo costante β:

β = arctan (M_ηSd / M_ξSd )    (6)

Il problema di verifica così posto consiste nel ricercare quella particolare direzione α dell’asse neutro la cui corrispondente curva spaziale di interazione Ψ intersechi il piano Π proprio nel punto R di intersezione tra la retta r di misura e la superficie di interazione. Appartenendo il punto R al piano Π, le relative componenti {M_ηRd, M_ξRd} formano, pertanto, lo stesso angolo β espresso dalla (6).
L’ultima considerazione espressa fornisce la chiave del criterio di convergenza adottato. Tenendo fisso, infatti, un valore di tentativo dell’angolo a (direzione asse neutro) si risolve un problema di verifica ad ec-centricità costante per presso-flessione retta applicato ad una curva di interazione piana N-M, in cui il singolo momento M di frontiera è costruito a partire dalla proiezione delle componenti M_ξR, M_ηR (generico punto della curva tridimensionale Ψ) sul piano Π:

M = M_ξR ⋅ cos β + M_ηR ⋅ sin β

Sia R₁ {N₁, M_ξ1, M_η1} il punto della curva Ψ corrispondente alla soluzione trovata sulla retta di misura nel piano N-M ipotizzato. Tale punto apparterrà al piano Π e, quindi, sarà la soluzione del problema, se e solo se risulterà (entro una prefissata tolleranza):

β1 = arctan (M_ηR1 / M_ξR1 ) = β

Ove tale circostanza non sia riscontrata (come ad esempio accade in Fig. 11), occorrerà incrementare l’angolo α di una quantità finita Δα e ripetere il procedimento di integrazione delle tensioni ottenendo un nuovo valore β₂. Così di seguito fino ad individuare un settore angolare definito da due valori consecutivi di α in corrispondenza dei quali i valori calcolati per β_i, β_i+1 rispettino la condizione:

β_i ≤ β ≤ β_i+1  con  β_i ≤ β_i+1

A questo punto la convergenza verso il voluto valore di β è assicurata, entro una prefissata tolleranza an-golare, mediante il solito procedimento della bisezione.

Misura della sicurezza a sforzo normale costante

Avviando il procedimento iterativo con un primo valore α1 di tentativo, si otterrà nel piano N = N_Sd un punto R₁ {N_Sd, M_ξ1, M_η1} appartenente a Ψ, le cui componenti flettenti lette nel sistema di riferimento M_ξ*,M_η* formeranno un angolo β₁. Se tale angolo risulta uguale all’angolo β formato dal piano Π, il punto R₁ risolve il problema; in caso contrario, si dovrà incrementare α₁ ed iterare il procedimento fino a convergenza, come già illustrato nel paragrafo precedente.
Il programma RC-SEC è inoltre in grado di rappresentare graficamente sia i domini bidimensionali di resistenza ultima Mx-My a sforzo normale N costante con N uguale ai valori assegnati alle singole combinazioni di carico, sia il dominio tridimensionale N-Mx-My (come quello riportato, in Fig. 12 e relativo al successivo esempio di calcolo) rappresentativo della resistenza ultima della sezione rispetto a qualsiasi sollecitazione che produca tensioni normali.

 

Fig. 12- Dominio tridimensionale N-Mx-My, relativo all’esempio seguente

Esempio di calcolo

La sezione in Fig. 13 si riferisce ad una pila da ponte cava calcolata col programma RC-SEC ed effettivamente realizzata. Essa è costituita da un dominio poligonale di calcestruzzo perimetrale pieno e da due domini interni vuoti. L’input dei tre domini poligonali è stato effettuato attraverso l’importazione delle coordinate dei vertici dal file *dxf del disegno di carpenteria. Con la stessa modalità sono state importate le coordinate delle barre ed i relativi diametri. Anche le numerose combinazioni sono state importate da file. Naturalmente per sezioni più semplici i dati geometrici e le sollecitazioni di progetto possono essere assegnati direttamente nelle apposite caselle di testo e griglie di cui dispone il programma.

Fig. 13- Sezione di una pila da ponte cava

La Fig. 14 si riferisce al risultato di una delle combinazioni SLU di calcolo. Il tratteggio in rosso indica le strisce discretizzate che ricadono in zona compressa. Le zone più intensamente colorate in rosso indicano la doppia discretizzazione di segno opposto dovuta alla sovrapposizione (che annulla il connesso contributo alla resistenza) del dominio pieno con i due domini cavi. La discretizzazione in grigio si riferisce ai puntoni effettivamente attivi presi in considerazione per il calcolo del taglio biassiale.
Si riportano di seguito stralci della relazione di calcolo relativi alle verifiche allo stato limite di presso flessione deviata per le 25 combinazioni considerate

Fig. 14- Rappresentazione grafica del risultato del calcolo

 

Risultati del calcolo

Copriferro netto minimo barre longitudinali: 3.7 cm
Interferro netto minimo barre longitudinali: 13.3 cm
Copriferro netto minimo staffe: 1.3 cm

Verifiche di resistenza Presso-tenso flessione allo stato limite ultimo
Ver S = combinazione verificata / N = combin. non verificata
N = Sforzo normale assegnato [kN] nel baricentro B sezione cls.(positivo se di compressione)
Mx = Componente del momento assegnato [kNm] riferito all’asse x princ. d’inerzia
My = Componente del momento assegnato [kNm] riferito all’asse y princ. d’inerzia
N Res = Sforzo normale resistente [kN] nel baricentro B sezione cls.(positivo se di compress.)
Mx Res = Momento flettente resistente [kNm] riferito all’asse x princ. d’inerzia
My Res = Momento flettente resistente [kNm] riferito all’asse y princ. d’inerzia
Mis.Sic.= Misura sicurezza  rapporto vettoriale tra (N r,Mx Res,My Res) e (N,Mx,My), verifica positiva se tale rapporto risulta >=1.000
As Totale= Area totale barre longitudinali [cm²]. [Tra parentesi il valore minimo di normativa]

N°Comb	Ver	N	Mx	My	N Res	Mx Res	My Res	Mis.Sic.	As Totale
1	S	30432.00	8069.00	-8862.00	30431.98	95493.09	-104644.55	11.83	1373.8(913.8)
2	S	23532.00	7990.00	-23346.00	23531.82	55229.03	-160123.16	6.87	1373.8(913.8)
3	S	27198.00	17934.00	-13981.00	27197.86	99018.77	-77815.65	5.54	1373.8(913.8)
4	S	23803.00	17872.00	-22558.00	23803.07	86433.73	-108061.07	4.81	1373.8(913.8)
5	S	27180.00	8081.00	-12933.00	27180.04	80949.11	-130205.83	10.06	1373.8(913.8)
6	S	23785.00	7993.00	-22622.00	23784.95	56186.16	-159552.22	7.05	1373.8(913.8)
7	S	27179.00	8073.00	-27249.00	27178.93	50668.93	-171981.91	6.31	1373.8(913.8)
8	S	23784.00	8011.00	-35826.00	23783.78	39306.92	-175270.39	4.89	1373.8(913.8)
9	S	18469.00	86031.00	29686.00	18468.94	96077.92	33016.51	1.12	1373.8(913.8)
10	S	18469.00	-85503.00	-26850.00	18468.88	-96262.49	-30049.07	1.13	1373.8(913.8)
11	S	18469.00	44045.00	55538.00	18469.11	81480.45	103085.56	1.85	1373.8(913.8)
12	S	18469.00	-43425.00	-52630.00	18469.11	-82461.07	-100284.87	1.90	1373.8(913.8)
13	S	18469.00	30564.00	25595.00	18468.85	89655.89	75128.17	2.93	1373.8(913.8)
14	S	18469.00	-29960.00	-22205.00	18469.12	-91312.13	-67004.09	3.04	1373.8(913.8)
15	S	30283.00	8495.00	-9230.00	30282.74	95757.27	-103271.36	11.23	1373.8(913.8)
16	S	23368.00	8381.00	-23946.00	23368.15	55690.48	-159261.89	6.65	1373.8(913.8)
17	S	27023.00	18051.00	-14644.00	27023.15	98265.18	-80413.31	5.46	1373.8(913.8)
18	S	23623.00	17980.00	-23335.00	23623.19	85246.20	-110527.82	4.74	1373.8(913.8)
19	S	27014.00	8480.00	-13334.00	27013.79	81494.45	-128659.30	9.64	1373.8(913.8)
20	S	23613.00	8398.00	-23153.00	23612.93	56754.11	-158535.08	6.84	1373.8(913.8)
21	S	27014.00	8722.00	-27923.00	27013.97	53417.06	-168933.62	6.06	1373.8(913.8)
22	S	23614.00	8651.00	-36614.00	23613.89	41566.81	-173222.44	4.74	1373.8(913.8)
23	S	18326.00	82620.00	21853.00	18325.88	96505.69	25481.80	1.17	1373.8(913.8)
24	S	18326.00	-83125.00	-19099.00	18326.08	-96635.56	-22467.79	1.16	1373.8(913.8)
25	S	18326.00	39884.00	45298.00	18326.05	83938.60	95542.81	2.11	1373.8(913.8)

 

Metodo agli stati limite ultimi – Deformazioni unitarie allo stato limite ultimo
ec max= Deform. unit. massima del calcestruzzo a compressione
Xc max= Ascissa in cm della fibra corrisp. a ec max (sistema rif. X,Y,O sez.)
Yc max=  Ordinata in cm della fibra corrisp. a ec max (sistema rif. X,Y,O sez.)
es min=  Deform. unit. minima nell’acciaio (negativa se di trazione)
Xs min= Ascissa in cm della barra corrisp. a es min (sistema rif. X,Y,O sez.)
Ys min= Ordinata in cm della barra corrisp. a es min (sistema rif. X,Y,O sez.)
es max= Deform. unit. massima nell’acciaio (positiva se di compress.)
Xs max= Ascissa in cm della barra corrisp. a es max (sistema rif. X,Y,O sez.)
Ys max= Ordinata in cm della barra corrisp. a es max (sistema rif. X,Y,O sez.)

N°Comb	ec max	Xc max	Yc max	es min	Xs min	Ys min	es max	Xs max	Ys max
1	0.00350	-132.5	156.2	0.00326	-156.8	141.3	-0.01051	156.5	-141.4
2	0.00350	-275.8	99.4	0.00333	-281.6	85.7	-0.00981	281.4	-85.9
3	0.00350	-103.6	163.6	0.00322	-100.1	157.5	-0.01119	99.9	-157.5
4	0.00350	-242.3	117.6	0.00323	-230.8	114.6	-0.01157	230.5	-114.7
5	0.00350	-242.3	117.6	0.00331	-249.1	107.6	-0.01013	248.9	-107.7
6	0.00350	-275.8	99.4	0.00333	-281.6	85.7	-0.00977	281.4	-85.9
7	0.00350	-302.3	71.9	0.00337	-281.6	85.7	-0.00918	281.4	-85.9
8	0.00350	-302.3	71.9	0.00335	-294.6	71.0	-0.00954	294.5	-71.2
9	0.00350	44.7	172.9	0.00319	37.2	166.8	-0.01264	-36.9	-166.8
10	0.00350	-44.7	-172.9	0.00319	-36.9	-166.8	-0.01264	37.2	166.8
11	0.00350	242.3	117.6	0.00321	244.8	109.5	-0.01284	-244.6	-109.6
12	0.00350	-160.8	-146.9	0.00321	-170.6	-136.3	-0.01306	170.9	136.2
13	0.00350	103.6	163.6	0.00319	114.7	154.0	-0.01306	-114.5	-154.1
14	0.00350	-103.6	-163.6	0.00319	-95.3	-158.5	-0.01300	95.5	158.4
15	0.00350	-132.5	156.2	0.00326	-138.1	147.5	-0.01054	137.9	-147.5
16	0.00350	-275.8	99.4	0.00333	-281.6	85.7	-0.00984	281.4	-85.9
17	0.00350	-103.6	163.6	0.00322	-100.1	157.5	-0.01123	99.9	-157.5
18	0.00350	-242.3	117.6	0.00324	-249.1	107.6	-0.01145	248.9	-107.7
19	0.00350	-242.3	117.6	0.00330	-249.1	107.6	-0.01020	248.9	-107.7
20	0.00350	-275.8	99.4	0.00333	-281.6	85.7	-0.00981	281.4	-85.9
21	0.00350	-275.8	99.4	0.00336	-281.6	85.7	-0.00922	281.4	-85.9
22	0.00350	-302.3	71.9	0.00335	-294.6	71.0	-0.00960	294.5	-71.2
23	0.00350	44.7	172.9	0.00319	37.2	166.8	-0.01264	-36.9	-166.8
24	0.00350	-44.7	-172.9	0.00319	-36.9	-166.8	-0.01265	37.2	166.8
25	0.00350	160.8	146.9	0.00321	152.4	142.8	-0.01314	-152.1	-142.9

 

A cura dell’Ing Pipiano Rosario