Calcolo del coefficiente di Winkler

In questo articolo vedremo cosa c’è alla base del calcolo del coefficiente di Winkler, o costante di sottofondo, e quali sono i metodi più utilizzati per il calcolo di questo parametro per ogni tipo di terreno.

Cenni teorici

Nello studio dell’interazione terreno-fondazione, e in particolare nella modellazione del terreno per calcolare le sollecitazioni negli elementi di fondazione, il problema viene semplificato nello studio dell’interazione tra due sole componenti: il terreno e la struttura di fondazione.

Tramite l’analisi dei carichi si calcolano i carichi trasmessi dalla struttura alla fondazione, per cui sono noti i carichi agenti sulla fondazione, mentre il terreno è visto come un vincolo distribuito che dà luogo ad una reazione distribuita q(x, y) che dipende da:

• Rigidezza della fondazione
• Distribuzione del carico

Questa reazione q(x, y) del terreno è l’incognita del problema, e le ipotesi che si fanno per arrivare alla risoluzione sono:
1) Tensioni tangenziali nulle al contatto terreno-fondazione
2) Terreno visto come vincolo bilaterale
3) Scelta del modello di comportamento del terreno ( nel caso in esame ci occuperemo dell’ipotesi di suolo alla Winkler)

N.B. Se per struttura di fondazione si intende una trave di fondazione, e nel caso in cui la dimensione B della base della fondazione sia trascurabile rispetto alla sua lunghezza L, il problema può essere studiato nel piano longitudinale; per cui si può semplificare lo studio considerando la reazione del terreno come funzione della sola x, ovvero una q(x), e considerando il valore costante lungo y.

Modello di suolo alla Winkler

Secondo il metodo di Winkler (1867) il terreno viene schematizzato con un letto di molle in grado di reagire solo a sforzi diretti lungo il loro asse, e per le quali si assume un comportamento elastico lineare.

Le molle si considerano indipendenti le une dalle altre, e ciò implica che applicando una forza in un punto del terreno, a subire il cedimento sarà solo il punto caricato, mentre nella realtà il terreno esibisce una sorta di continuità per la quale, a subire il cedimento non è solo l’area caricata, ma anche l’area circostante.

Le molle sono caratterizzate a una rigidezza k, chiamata anche costante di sottofondo, coefficiente di reazione del terreno o coefficiente di Winkler.
Tale costante non è affatto una proprietà intrinseca del terreno, ma dipende da forma e dimensioni della fondazione, dalla distribuzione dei carichi agenti, dalla stratigrafia e dalla composizione fisica del suolo.

Data l’ipotesi di comportamento lineare delle molle, ogni punto reagisce con una forza proporzionale al cedimento:

q(x) = k · w(x) quindi: k = q(x)/w(x)

dove: q(x) = reazione del terreno
w(w) = cedimento al di sotto della fondazione
k = costante di sottofondo

C’è da precisare che il modello di suolo alla Winkler è da utilizzare solo per il calcolo delle sollecitazioni, ma non per il calcolo dei cedimenti della struttura, infatti l’ipotesi di comportamento elastico lineare potrebbe essere ragionevole solo per sollecitazioni di brevissima durata, mentre per sollecitazioni di lunga durata non si può prescindere dal comportamento viscoso del terreno.

Calcolo del coefficiente di Winkler verticale k_w

Il coefficiente di Winkler, come appena visto, è per definizione il rapporto tra il carico e il cedimento, per cui l’approccio più razionale per la stima della costante di sottofondo consiste nel calcolare il cedimento w della fondazione in fase di progetto, utilizzando il metodo più appropriato, e quindi valutare k_w come rapporto tra il carico unitario medio e il cedimento calcolato.

In questo modo si ottiene un valore di k_w che tiene conto di tutti i fattori significativi che come detto sono:

• forma e dimensioni della fondazione;
• distribuzione dei carichi;
• stratigrafia e composizione del terreno di fondazione.

In alternativa, il valore di k_w può essere determinato facendo riferimento alle prove di carico su piastra, per le quali si considera una piastra standard di base quadrata o circolare di raggio o diametro b pari a 30 cm, e al valore così calcolato si assegna il nome di k₁, per il quale, avendo fissato a priori forma e dimensione della “fondazione”, si può parlare di un valore che dipende solo dalle caratteristiche del terreno di fondazione, e per cui si può parlare di valori tipici con riferimento ai tipi di terreno:

Il valore calcolato dalla prova su piastra è realistico, ma è relativo alla piastra utilizzata nella prova; quindi per applicarlo alla fondazione deve essere opportunamente convertito utilizzando formule che tengano conto della dimensione reale della fondazione.

Per terreni incoerenti si usa:

k_w = k₁ [ (B + b) / 2b ] ^2

Per terreni coesivi:

k_w = k₁ (b / 1.5B )

Quanto detto fa riferimento al calcolo della costante di sottofondo utilizzata nel progetto di fondazioni superficiali.

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Applicabilità del modello di Winkler per fondazioni superficiali

Il modello di Winkler può essere senz’altro utilizzato nelle seguenti condizioni:

Condizione 1

Quando una trave poggia su uno strato con caratteristiche costanti fino ad una certa profondità H, oltre la quale si ha uno strato molto meno deformabile.
Il modello è tanto più idoneo a questa condizione, quanto più è piccolo H, in particolare quando risulta che: H < 2B

Condizione 2

Un’altra situazione in cui il metodo di Winkler funziona bene è nel caso in cui si è in presenza di un terreno la cui deformabilità decresce con la profondità, condizione che realmente si trova quando si ha a che fare con terreni coesivi N.C. o con sabbie.

Tutte le volte in cui, le deformazioni del terreno sotto l’azione dei carichi si concentrano in zone superficiali, il modello di Winkler può essere utilizzato e ritenuto valido.

Limiti del modello

Il modello di Winkler presenta anche dei limiti, come quello già descritto in precedenza, derivante dall’ipotesi stessa di considerare il terreno come un letto di molle indipendenti, per cui la deformata del piano di posa presenta una discontinuità nell’intersezione tra la fondazione e il piano campagna, e quindi il modello non consente di analizzare la mutua interferenza di due fondazioni indipendenti vicine.

Un altro limite del metodo è quello di non poter considerare situazioni in cui è presente un carico uniformemente distribuito; in questa situazione infatti, la soluzione del problema, conduce ad una distribuzione della reazione del terreno uguale e opposta al cario, e quindi con caratteristiche delle sollecitazioni identicamente nulle in ogni sezione della trave.

Calcolo del coefficiente di Winkler orizzontale k_h: pali soggetti a carichi orizzontali

Lo studio del comportamento in esercizio di un palo isolato, caricato in sommità da una forza orizzontale H, viene condotto generalmente schematizzando il terreno come un mezzo alla Winkler.

In questo scenario, lo spostamento di un generico punto del palo, alla generica profondità z, viene indicato con v(z), al posto del terreno si considera un letto di molle di rigidezza k_h, dove k_h è detta coefficiente di reazione orizzontale del terreno.

La corrispondente reazione del terreno P, allo spostamento v(z), si calcola come:

P = p · B

Dove: p = k_h · v(z)

Terreni argillosi normalmente consolidati e per terreni incoerenti

Per il calcolo del coefficiente di Winkler k_h si fa riferimento all’espressione di Matlock e Reese (1956), che nel caso di terreni argillosi normalmente consolidati e per terreni incoerenti assume k_h variabile linearmente con la profondità, e per la quale si considera una legge di questo tipo:

k_h = n_h · z/B

in cui, per terreni incoerenti, il valore di n_h dipende dallo stato di addensamento e dalla presenza o meno della falda, e può essere ottenuto dalla seguente espressione:

n_h = A · γ/1.35

Valori orientativi di n_h e A per terreni incoerenti sono riportati nella tabella seguente:

Terreni coesivi sovraconsolidati

Nel caso di terreni coesivi sovraconsolidati si considera un andamento di k_h uniforme con la profondità, e per il quale si considera una legge di questo tipo:

k_h = 0.12 · K*/B

Valori orientativi di K* per sono riportati nella tabella seguente:

Sempre sui terreni coesivi Broms (1964) ha suggerito di correlare il valore di k_h al modulo secante E₅₀ determinato in prove CIU, ad un livello di sforzo deviatorico pari alla metà di quello di rottura, mediante l’espressione:

k_h = 1,67 · E₅₀/B

Ma la coesione non drenata c_u può essere a sua volta correlata a E₅₀, e per argille sovraconsolidate può scriversi:

E₅₀ = (100÷500) · c_u

quindi:

kh = (170÷800) · c_u/B

Più cautelativamente, Davisson (1970) ha suggerito di porre:

k_h = 67 · c_u/B

Pali in gruppo

Nel modello di Winkler risulta complicato tenere conto in modo esplicito dell’effetto di gruppi di pali, più nello specifico la loro mutua interazione, ma nel caso di gruppi di pali sotto carichi orizzontali Poulos e Davis (1980) forniscono delle indicazioni che tengono conto della riduzione di k_h.

Tenendo conto del moltiplicatore m il coefficiente di Winkler per un gruppo di pali, k_h,g, si calcola come:

k_h,g = m · k_h

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Calcolo del coefficiente di Winkler verticale k_w: pali soggetti a carichi verticali

Per il calcolo del coefficiente di Winkler k_w per pali si può fare riferimento al metodo di Randolph e Wroth (1978), il quale considera il palo immerso in un mezzo elastico, ed esamina separatamente l’interazione con tale mezzo della superficie laterale e della base del palo, le due soluzioni vengono poi sovrapposte.

Il metodo di Randolph e Wroth rientra tra i metodi approssimati per il calcolo dei cedimenti dei pali isolati, ma al suo interno si trovano interessanti osservazioni sul calcolo del coefficiente di reazione verticale del terreno nel caso di pali isolati.

Calcolo dei carichi e dei cedimenti

Secondo questo metodo il carico sulla superficie laterale del palo è dato da:

S = 2 · π · r₀ · L · τ₀

Dove r₀ = D/2 rappresenta il raggio del palo, L la sua lunghezza e τ₀ il valore dello sforzo di taglio all’interfaccia fra palo e terreno.

Il cedimento è invece dato da:

w_s = ζ · τ₀· r₀/G_m

Dove ζ è un coefficiente che tiene conto dell’ampiezza r_m del campo deformativo che si sviluppa intorno al palo di raggio r₀:

ζ = ln(r_m / r₀)

r_m = {0,25 + [2,5 ∙ ρ ∙ (1 – ν) – 0,25] ∙ ξ} ∙ L

ξ = G_L / G_b è il rapporto tra i moduli di taglio alla profondità z = L, per pali poggianti su di uno strato di elevata rigidezza

ρ = G_m / G_L è il fattore di non omogeneità del terreno laterale, per pali immersi in un terreno con rigidezza variabile

G_m rappresenta il valore medio del modulo di elasticità trasversale fra la superficie e la profondità L, e G_L il valore medio del modulo di elasticità trasversale alla profondità L.

Il cedimento alla base del palo è espresso da:

w_b = P · (1 – ν) / 4 · r_b · G_b

dove P è il carico agente alla base, r_b il raggio alla base e G_b il modulo di elasticità trasversale del materiale al di sotto della base del palo.

Rigidezza delle molle

Il rapporto tra carico S e cedimento w_s rappresenta la rigidezza della molla k_s:

k_s = 2 · π · L · G_m / ζ

Analogamente, dal rapporto tra il carico P e il cedimento w_b, si ricava la rigidezza k_b:

k_b = 4 · r_b · G_b / (1 – ν)

La rigidezza totale sarà: k_w  = k_s + k_b

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